निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,int_{ | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{0}^{4}|x-1| d x$.हम जानते हैं कि मापांक फलन $|x-1|$ का मान $x = 1$ पर अपना चिह्न बदलता है।विशेष रूप से,$0 \leq x \leq 1$ के लिए $(

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$5$

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(C) माना $I = \int_{0}^{4}|x-1| d x$.हम जानते हैं कि मापांक फलन $|x-1|$ का मान $x = 1$ पर अपना चिह्न बदलता है।विशेष रूप से,$0 \leq x \leq 1$ के लिए $(x-1) \leq 0$ और $1 \leq x \leq 4$ के लिए $(x-1) \geq 0$ होता है।गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{c} f(x) d x + \int_{c}^{b} f(x) d x$ का उपयोग करते हुए,हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:$I = \int_{0}^{1} -(x-1) d x + \int_{1}^{4} (x-1) d x$.अब,समाकलनों का मान ज्ञात करते हैं:$I = \int_{0}^{1} (1-x) d x + \int_{1}^{4} (x-1) d x$.$I = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} + \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_{1}^{4}$.प्रथम भाग के लिए: $\left( 1 - \frac{1}{2} \right) - (0 - 0) = \frac{1}{2}$.द्वितीय भाग के लिए: $\left( \frac{16}{2} - 4 \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = (8 - 4) - \left( -\frac{1}{2} \right) = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$.अतः,$I = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

List-$I$	List-$II$
$I. \int_{-1}^1 x\|x\| dx$	$(a) \frac{\pi}{2}$
$II. \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}\right)\right) dx$	$(b) \int_0^a 2f(x) dx$
$III. \int_0^a f(x) dx$	$(c) \int_0^a [f(x) + f(-x)] dx$
$IV. \int_{-a}^a f(x) dx$	$(d) 0$
	$(e) \int_0^a f(a-x) dx$

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{4}|x-1| d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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